已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an+1-λan}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（n∈N*），求实数λ的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求实数λ的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列{a_n}的公比为q＞0，
由条件，q³，3q²，q⁴成等差数列，∴6q²=q³+q⁴
解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．
∴数列{a_n}的通项公式为an=1×2n-1=2n-1．
（2）记b_n=a_n+1-λa_n，则bn=2n-λ?2n-1=(2-λ)2n-1
若λ=2，b_n=0，S_n=0不符合条件；
若λ≠2，则

bn+1

bn

=2，数列{b_n}为等比数列，首项为2-λ，公比为2．
此时Sn=

(2-λ)

1-2

(1-2n)=(2-λ)(2n-1)，
∵Sn=2n-1(n∈N*)，
∴λ=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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