如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=2，AC=1（1）求异面直线AB与SC所成的角的余弦值；（2）在线段AB上求一点D，使CD与平面SAC成45°角．-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=2，AC=1
（1）求异面直线AB与SC所成的角的余弦值；
（2）在线段AB上求一点D，使CD与平面SAC成45°角．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取AB的中点O，连接OS，则有OS⊥AB
又∵平面SAB⊥平面ABC，
∴OS⊥平面ABC …（2分）
∴以AB为x轴，OS为z轴，过O作AC的平行线为y轴，如图，建立空间直角坐标系O-xyz．
∵A（-1，0，0），B（1，0，0），C（-1，1，0），
S（0，0，

3

），
∴

AB

=(2，0，0)，

SC

=(-1，1，-

3

)，
∴cos＜

AB

，

SC

＞=

AB

?

SC

|

AB

|?|

SC

|

=

-2

2×

5

=-

5

…（5分）
又异面直线AB与SC所成角大于0，小于等于

π

2

，故异面直线AB与SC所成的角的余弦值为

5

…（6分）
（2）依题意可设D（a，0，0），其中a∈[-1，1]，
∴

CD

=(a+1，-1，0)
设平面SAC的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

SA

=(-1，0，-

3

)，

AC

=(0，1，0)
∴

-x-

3

z=0

y=0

，取

n

=(

3

，0，-1)…（8分）
设CD与平面SAC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

3

(a+1)

(a+1)2+1

×2

=

2

∴

3

(a+1)=

2?

a2+2a+2

…（10分）
两边同平方，化简得a²+2a-1=0
∴a=-1-

2

(舍去)或者a=

2

-1
所以满足条件的点D的坐标为(

2

-1，0，0)…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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