如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3，点M为棱SA的中点．（1）求证：DM⊥平面SAB；（2）求异面直线DM与SC所成角的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，点M为棱SA的中点．
（1）求证：DM⊥平面SAB；
（2）求异面直线DM与SC所成角的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）连接BD，则BD=

2

，
∵SB=

3

，在直角三角形SBD中，SD=DA=1，
∴△SDA为等腰直角三角形，又M为棱SA的中点，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM?平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，

魔方格

∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M为棱SA的中点，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），
∴

DM

=（

1

2

，0，

1

2

），

SC

=（0，1，-1），设异面直线

DM

与

SC

所成角的大小为θ，
cosθ=

DM

?

SC

|

DM

||

SC

|

=

-

1

2

1

2

?

2

=-

1

2

，
∴|cosθ|=

1

2

，
∴异面直线DM与SC所成角为

π

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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