如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．
作AP⊥CD于点P，连接MP．
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP．
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

．
∵MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

．
所以，异面直线AB与MD所成的角为

π

3

．
（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，所以点B和点A到平面OCD的距离相等．
连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

3

2

，AP=PD=

2

，
∴AQ=

OA?AP

OP

=

2×

2

3

2

=

2

3

．
所以，点B到平面OCD的距离为

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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