如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

？若存在，求出

AQ

QD

的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：福建试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：在△PAD中，PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC=2有OD∥BC
且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBC是锐角，
所以∠PBC是异面直线PB与CD所成的角
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=

2

在Rt△AOP中因为AP=

2

AO=1，所以OP=1
在Rt△AOP中tan∠PBC=

PC

BC

=

1

2

=

2

， ∠PBC=arctan

2

所以：异面直线PB与CD所成角的大小arctan

2

．

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

．
设QD=x，则S△DQC=

1

2

x，由（Ⅱ）得CD=OB=

2

，
在Rt△POC中，PC=

OC2+OP2

=

2

，
所以PC=CD=DP，S△PCD=

3

4

?(

2

)2=

3

2

，
由V_p-DQC=V_Q-PCD，得x=

3

2

，所以存在点Q满足题意，此时

AQ

QD

=

1

3

．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以O为坐标原点，

OC

、

OD

、

OP

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，
依题意，易得A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
所以

CD

=(-1，1，0)，

PB

=(1，-1，-1)．
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos

6

3

，

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

，
由（Ⅱ）知

CP

=(-1，0，1)，

CD

=(-1，1，0)．
设平面PCD的法向量为n=（x₀，y₀，z₀）．
则

n?

CP

=0

n?

CD

=0

所以

-x0+z0=0

-x 0+y0=0

即x₀=y₀=z₀，
取x₀=1，得平面PCD的一个法向量为

n

=（1，1，1）．
设Q(0，y，0)(-1≤y≤1)，

CQ

=(-1，y，0)，由

|

CQ?n

|

|n|

=

3

2

，得

|-1+y|

|

3

|

=

3

2

，
解y=-

1

2

或y=

5

2

（舍去），
此时|AQ|=

1

2

，|QD|=

3

2

，所以存在点Q满足题意，此时

AQ

QD

=

1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面A..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：