如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=2，PB⊥PD．求异面直接PD与BC所成角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．求异面直接PD与BC所成角的余弦值．

试题来源：山东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

，
由平面几何知识得：OD=1，PD=

3

，PB=

6

过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB
∴BC=

5

，AB=2

2

，CD=

2

又AB∥DC
∴四边形EBCD是平行四边形．
∴ED=BC=

5

，BE=CD=

2

∴E是AB的中点，且AE=

2

又PA=PB=

6

，
∴△PEA为直角三角形，
∴PE=

PA2-AE2

=

6-2

=2
在△PED中，由余弦定理得cos∠PDE=

PD2+DE2-PE2

2PD?DE

=

3+5-4

2?

3

?

5

=

2

15

故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为

2

15

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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