如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C₁（2，2，2）
（1）则

AE

=（0，1，2），

BF

=（-1，0，2）
设异面直线AE和BF所成角为θ
则cosθ=|

AE

?

BF

|

AE

|?|

BF

|

|=

4

5

即异面直线AE和BF所成角的余弦值为

4

5

（2）∵

AB

=（2，0，0）为平面BDD₁的一个法向量，
设向量

n

=(x，y，z)为平面BFC₁的一个法向量
则

n

?

BF

=0

n

?

BC1

=0

，即

-x+2z=0

2y+2z=0

令z=1，则向量

n

=(2，-1，1)为平面BFC₁的一个法向量
∵cos＜

n

，

AB

＞=

n

?

AB

|

n

|?|

AB

|

=

6

3

∴sin＜

n

，

AB

＞=

3

∴平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值为

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：