如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，A1B1的中点．（Ⅰ）求异面直线DE与FC1所成的角的余弦值；（II）求BC1和面EFBD所成的角；（III）求B1到面EFBD的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，A1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱A₁D₁，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线DE与FC₁所成的角的余弦值；
（II）求BC₁和面EFBD所成的角；
（ III）求B₁到面EFBD的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）如图建立空间坐标系D-xyz，记异面直线DE与FC₁所成的角为α，则α等于向量

DE

，

FC1

的夹角或其补角，
∵E、F分别是棱A₁D₁，A₁B₁的中点，D（0，0，0），E（1，0，2），F（2，1，2），C₁（0，2，2）
∴

DE

=(1，0，2)，

FC1

=(-2，1，0)
∴cosα=|

.

DE

?

.

FC1

|

.

DE

||

.

FC1

|

|=|

-2

5

|=

2

5

（II）由题意，

DE

=(1，0，2)，

DB

=(2，2，0)
设面EFBD的法向量为

n

=(x，y，1)
由

DE

?

n

=0

DB

?

n

=0

，得

n

=(-2，2，1)
又

BC1

=(-2，0，2)
记BC₁和面EFBD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

BC1

?

n

|

BC1

||

n

|

|=

2

∴BC₁和面EFBD所成的角为

π

4

．
（III）点B₁到面EFBD的距离d等于向量

BB1

在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，
∵B（2，2，0），B₁（2，2，2），∴

BB1

=(0，0，2)
∵

n

=(-2，2，1)
∴d=

|

BB1

?

n|

|n|

=

|2|

4+4+1

=

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1，A1..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：