如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角B1-DC-B的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1C1上是否存在点E，使得CE与DB1成-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=4，∠BAC=90°，D是A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁C₁上是否存在点E，使得CE与DB₁成60°角？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），C₁（0，4，2），D（1，0，10），…（2分）
则

DB1

=（1，0，2），

CD

=（1，-4，0）
设平面B₁DC的法向量为

n1

=（x，y，z），则

n1

?

DB1

=0

n1

?

CD

=0

，即

x+2z=0

x-4y=0

取y=1，得

n1

=（4，1，-2），…（3分）
∵

AC1

=（0，4，2），
∴

n1

?

AC1

=0，
∴

n1

⊥

AC1

，
∴AC₁∥平面B₁DC；．…（4分）
（Ⅱ）设平面BDC的法向量

n2

=（0，0，1），二面角B₁-DC-B的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1

?

n2

|

n1

||

n2

|

|=

2

21

×1

=

2

21

，
所以二面角B₁-DC-B的余弦值为

2

21

．…（8分）
（Ⅲ）假设线段A₁C₁上存在点E（0，y，2），（0＜y＜4），则

CE

=（0，y-4，2），…（9分）
∵|cos＜

CE

，

DB1

＞|=|

CE

?

DB1

|

CE

||

DB1

|

|，…（10分）
∴cos60°=

4

(y-4)2+4

×

5

，
整理得5y²-40y+36=0，∴y=4±

2

55

5

∵0＜y＜4，∴y=4-

2

55

5

，…（12分）
∴

CE

=（0，-

2

55

5

，2），
∴|

CE

|=

(-

2

55

5

)2+22

=

8

5

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=4，∠BAC=90°，D是A..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：