在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=π2、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，连接AC交MN于P，现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角（I）若M为AD中点时，求异面直线MN与AC所成角；（Ⅱ）证明：当M-数学试题及答案

1、试题题目：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=π2、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=

π

2

、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，连接AC交MN于P，现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角

魔方格

（I）若M为AD中点时，求异面直线MN与AC所成角；
（Ⅱ）证明：当MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）当点M在怎样的位置时，点M到面ACD的距离最大？并求出这个最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意，MN∥DC，DC⊥平面ADM，则∠ACD为异面直线MN与AC所成角
∵DM=AM=2，DM⊥AM
∴AD=2

2

∴tan∠ACD=

2

∴∠ACD=arctan

2

；
（II）证明：设MP=a，则AM=2a，DM=4-2a，
∴AP=

5

a，PC=

(2-a)2+(4-2a)2

=

5a2-20a+20

，AC=

4a2+(4-2a)2+4

=

8a2-16a+20

∴cos∠APC=

5a2+5a2-20a+20-8a2+16a-20

2

5

a?

5

(2-a)

=-

1

5

为定值，
∴MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）由题意，平面ACD⊥平面AMD，则过M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，
∴ME为点M到面ACD的距离
由（II）知，ME=

2a(4-2a)

(2a)2+(4-2a)2

=

2a(2-a)

2a(a-2)+4

令t=2a（2-a），则1≥t＞0，ME=

t

t+4

=

1

t

+

4

t2

=

1

4(

1

t

+

1

8

)2-

1

16

∴t=1时，ME取得最大值

5

，此时M是AD的中点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=π2、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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