如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2.（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

.
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．

试题来源：福建试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：连接OC
魔方格

∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

.
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90^o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），C(0，

3

，0)，A(0，0，1)，E(

1

2

，

3

2

，0)，

BA

=(-1，0，1)，

CD

=(-1，-

3

，0).
∴cos＜

BA

，

CD

＞=

BA

.

CD

|

BA

||

CD

|

=

2

4

，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos

2

4

.
（III）设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，

则

n

.

AD

=(x，y，z)．(-1，0，-1)=0

n

.

AC

=(x，y，z)．(0

3

，-1)=0

∴

x+z=0

3

y-z=0.

令y=1，得

n

=(-

3

，1，

3

)是平面ACD的一个法向量．
又

EC

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∴点E到平面ACD的距离h=

|

EC

.

n

|

n

|

=

3

7

=

21

7

.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，A..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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