如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．（I）求证：平面COD⊥平面AOB；（II）当D为AB的中点-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（III）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE2+DE2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2

=

6

4

．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为

6

4

．（9分）

解法二：建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，
∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，
∴cos＜

OA

，

CD

＞=

OA

?

CD

|

OA

|?|

CD

|

=

6

2

3

?2

2

=

6

4

．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为

6

4

．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，OD=

OA?OB

AB

=

3

，tanCDO=

2

3

，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为

2

3

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：