如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1-ED-F的-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0）．
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4）．
于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF

?

A1D

|

EF

||

A1D

|

=-

3

5

．
所以异面直线EF与A₁D所成角的余弦值为

3

5

．
（2）证明：连接ED，易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-

3

2

，4），

ED

=（-1，

1

2

，0），
于是

AF

?

EA1

=0，

AF

?

ED

=0．
因此，AF⊥EA₁，AF⊥ED．
又EA₁∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED．
（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则

u

?

EF

=0

u

?

ED

=0

即

1

2

y+z=0

-x+

1

2

y=0

不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）．
由（2）可知，

AF

为平面A₁ED的一个法向量．
于是cos＜u，

AF

＞=

u

?

AF

|

u

||

AF

|

=

2

3

，从而sin＜u，

AF

＞=

5

3

．
二面角A₁-ED-F的正弦值是

5

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：