已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值是_____

1、试题题目：已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=

2

a

，∠BAC=120°，若

AO

=x

AB

+y

AC

，则x+y的最小值是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2a，0），C（-

1

a

，

3

a

），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=a上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-

1

2a

，

3

2a

），AC的斜率为tan120°=-

3

，
∴中垂线n的方程为 y-

3

2a

=

3

（x+

1

2a

）．
把直线 m和n 的方程联立方程组

x=a

y-

3

2a

=

3

(x+

1

2a

)

，
解得△ABC的外心O（a，

3

a+

2

3

3a

），
由条件

AO

=x

AB

+y

AC

，得（a，

3

a+

2

3

3a

）
=x（2a，0）+y（-

1

a

，

3

a

）=（2ax-

y

a

，

3

y

a

），
∴

a=2ax-

y

a

3

a

3

+

2

3

3a

=

3

y

a

，解得x=

2

3

+

1

3a2

，y=

a2

3

+

2

3

，
∴x+y=

2

3

+

1

3a2

+

a2

3

+

2

3

=

4

3

+

1

3

（

1

a2

+a2）≥

4

3

+

1

3

×2=2．
当且仅当a=1时取等号．
故答案为：2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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