已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x1x2+1，（1）求f（0），f（1），f（2）的值；（2）求f（x）；（3）判断F（x）=[f（x）]2-2f（x）在（0，+∞）上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知偶函数f（x），对任意x₁，x₂∈R，恒有：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，
（1）求f（0），f（1），f（2）的值；
（2）求f（x）；
（3）判断F（x）=[f（x）]²-2f（x）在（0，+∞）上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1，
令x₁=1，x₂=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，∵f（0）=-1∴f（1）=0，
令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）因为：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，
又f（x）=f（-x），f（0）=-1，
故f（x）=x²-1；
（3）∵F（x）=[f（x）]²-2f（x）=x⁴-4x²+3，
∴F′（x）=4x³-8x=4x（x²-2）=4x（x+

2

）（x-

2

）；
∴在（

2

，+∞）上F′（x）＞0，在（0，

2

）上F′（x）＜0
故函数F（x）在[

2

，+∞）上是增函数，在（0，

2

）上为减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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