设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a．（a∈R且a≠0）（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a．（a∈R且a≠0）（1）分别判断当a=1及a=-2时函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

a2-x2

|x+a|+a

．（a∈R且a≠0）
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．

试题来源：长宁区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f(x)=

1-x2

|x+1|+1

，由1-x²≥0，
∴-1≤x≤1．所以f(x)=

1-x2

x+2

∵f(

1

2

)=

3

5

，f(-

1

2

)=

3

，∴f(

1

2

)≠f(-

1

2

)，f(

1

2

)≠-f(-

1

2

)，
∴f（x）为非奇非偶函数．（4分）
（如举其他的反例同样给分）
当a=-2时，f(x)=

4-x2

|x-2|-2

，由4-x²≥0，得-2≤x≤2，
所以f(x)=

4-x2

-x

，x∈[-2，0）∪（0，2]，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．（4分）
（2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a²-x²≥0，得-a≤x≤a，
∴f(x)=

a2-x2

x+2a

，可以验证：对任意的a＞0，f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，f(-

a

2

)≠-f(

a

2

)，
∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分）（3分）
a＜0时，由a²-x²≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=

a2-x2

-x

，x∈[a，0)∪(0，-a]，
并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a．（a∈R且a≠0）（1）分别判断当a=1及a=-2时函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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