若实数a＞0且a≠2，函数f(x)=13ax3-12(a+2)x2+2x+1．（1）若a＞2，求函数f（x）的单调区间；（2）若在区间（0，+∞）上存在一点x0，使得f（x0）＜1成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：若实数a＞0且a≠2，函数f(x)=13ax3-12(a+2)x2+2x+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

若实数a＞0且a≠2，函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

(a+2)x2+2x+1．
（1）若a＞2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=

1

3

ax3-

1

2

(a+1)x2+2x+1
∴f′(x)=ax2-(a+2)x+2=a(x-1)(x-

2

a

)…（2分）a＞2时，列表如下，

x

(-∞，

2

a

)

2

a

(

2

a

，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

增

极大值

减

极小值

增

∴函数在x=1处取极值，f(x)的单调递增区间是(-∞，

2

a

)和(1，+∞)
单调递减区间是(

2

a

，1)…（6分）
当0＜a＜2时，列表如下，

x

（-∞，1）

1

(1，

2

a

)

2

a

(

1

a

，+∞)

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

增

极大值

减

极小值

增

∴函数f(x)在x=1处取极值，h(x)的单调递增区间是(-∞，1)和(

2

a

，+∞)
单调递减区间是(1，

2

a

)…（6分）
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1即可．…（8分）
当a＞2时，f（x）_极小值=f（1）=2-

a

6

＜1，所以a＞6．…（10分）
当0＜a＜2时，f(x)极小值=f(

2

a

)=1+

2(3a-2)

3a2

＜1恒成立，所以0＜a＜

2

3

．…（12分）
综上所述，实数a的取值范围为(0，

2

3

)∪(6，+∞)…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若实数a＞0且a≠2，函数f(x)=13ax3-12(a+2)x2+2x+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：