设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域是单调函数，求实数b的取值范围；（3）求证：123+233+343+…+n-1n3＜-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域是单调函数，求实数b的取值范围；
（3）求证：

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)．(n∈N*)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据题意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定义域（-1，+∞）上的最小值是f（1），
∴函数在x=1处取得最小值，说明x=1是函数的极小值点，
因为f′（x）=2x+

b

x+1

，所以f′（1）=0，得2+

b

2

=0，可得b=-4
经检验b=-4符合题意；
（2）函数f（x）在定义域是单调函数，说明
f′（x）=2x+

b

x+1

，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，
①根据函数的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，
②f′（x）≥0恒成立，即

b+2x(x+1)

x+1

≥0，变形为b≥-2x²-2x，
而t(x)=-2x 2-2x在(-1，+∞)上的最大值为t(-

1

2

)=

1

2

故b≥

1

2

综合①②知，实数b取值范围是[

1

2

，+∞)
（2）∵

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

n-1

(n-1)(n2+n+1)

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)
∴

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

＜

1

2

．
又∵n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

．故不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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