已知函数f(x)=lnxx．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+1x的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）与g(x)=16x-mx+23的图象有公共点，且在公共点处的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnxx．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+1x的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

lnx

x

．
（I）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=xf（x）+

1

x

的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）与g(x)=

1

6

x-

m

x

+

2

3

的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．

试题来源：宣武区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）可得f′(x)=

1-lnx

x2

．
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
（Ⅱ）依题意，转化为不等式a＜lnx+

1

x

对于x＞0恒成立
令g（x）=lnx+

1

x

，则g'（x）=

1

x

-

1

x2

=

1

x

(1-

1

x

)
当x＞1时，因为g'（x）=

1

x

(1-

1

x

)＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（-∞，1）．
（Ⅲ）转化为lnx=

1

6

x2+

2

3

x-m，y=lnx与y=

1

6

x2+

2

3

x-m在公共点（x₀，y₀）处的切线相同
由题意知

lnx0=

1

6

x

20

+

2

3

x0-m

1

x0

=

1

3

x0+

2

3

∴解得：x₀=1，或x₀=-3（舍去），代入第一式，即有m=

5

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnxx．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+1x的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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