已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知曲线C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．

试题来源：温州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x²-a，…（1分）
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立．（4分）
a≤3x²恒成立．因为当1≤x≤2时3x²≥3，可得a≤3． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x₀，f（x₀）），则切线方程为：y=（3x₀-a）（x-1）…（9分）
将（x₀，f（x₀））代入得：f(x0)=

x

30

-ax0+a即2

x

30

-3x0=0 （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

…（12分）
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与

27

4

-a，
因为两条切线的倾斜角互补，所以-a+

27

4

-a=0，解得a=

27

8

． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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