已知函数f(x)=13x3+mx2-3m2+1（m＞0）．（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+mx2-3m2+1（m＞0）．（Ⅰ）若m=1，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

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x3+mx2-3m2+1（m＞0）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当m=1时，f（x）=

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x³+x²-3x+1，f（2）=

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+4-6+1=

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；
f′（x）=x²+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，
所以所求切线方程为y-

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=5（x-2），即15x-3y-25=0；
（Ⅱ）对于f（x）=

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x³+mx²-3m²x+1，
f′（x）=x²+2mx-3m²，
令f′（x）=x²+2mx-3m²=0，解可得x=-3m或x=m；
由于m＞0，则m＞-3m，
若f′（x）=x²+2mx-3m²≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），
要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
应有m+1≤-3m或2m-1≥m，
解得m≤

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或m≥1，①
对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②
又由m＞0，③
综合三式可得1≤m＜2，
即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+mx2-3m2+1（m＞0）．（Ⅰ）若m=1，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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