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1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)＜e(n∈N*)．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）f′(x)=
2x
1+x2
+a，因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分
（Ⅱ）因为f′(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2

1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
2）若
a＜0
△≤0
得，当a≤-1时，f′(x)≤0对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减；
3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴
-1+
1-a2
a
＜x＜
-1-
1-a2
a
∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减；
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
若-1＜a＜0时，f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x2）＜x
∴ln[(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)]=ln(1+
1
22
)+ln(1+
1
42
)+…+ln(1+
1
22n
)＜
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=(1-
1
2n
)＜1
∴(1+
1
22
)(1+
1
42
)…(1+
1
22n
)＜e---------------------13分
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。


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