已知函数f（x）=23x+12，h（x）=x．（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2，求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[32f（x-1）-34]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）；（Ⅲ）设n∈Nn，证明：f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=23x+12，h（x）=x．（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）；
（Ⅲ）设n∈Nⁿ，证明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0）
所以F′（x）=-3x²+12=0，x=±2
且x∈（0，2）时，F′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0
所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=-8+24+9=25
（Ⅱ）原方程变形为lg（x-1）+2lg

4-x

=2lg

a-x

?

x＞1

4-x＞0

a-x＞0

(x-1)(4-x)=a-x

?

1＜x＜4

x＜a

a=-(x-3)2+5

（1）当1＜a＜4时，原方程有一解x=3-

a-5

（2）当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±

a-5

（3）当a=5时，原方程有一解x=3
（4）当a≤1或a＞5时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=

1

+

2

+…+

n

f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

从而a₁=s₁=1
当k≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

又an-

k

=

1

6

[(4k-3)

k

-(4k-1)

k-1

]
=

1

6

(4k-3)2-(4k-1)2(k-1)

(4k-3)

k

+(4k-1)

k-1

=

1

6

1

(4k-3)

k

+(4k-1)

k-1

＞0
即对任意的k≥2，有an＞

k

又因为a₁=1=

1

所以a₁+a₂+…+a_n≥

1

+

2

+…+

n

则s_n≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=23x+12，h（x）=x．（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：