设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2-x-1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x²-x-1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当p=1时，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；
（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）=xlnx+p（x²-1），
则xlnx+p（x²-1）≤0，
设g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，
故只须g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1时是减函数即可，
又因为g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，
即p≤-

lnx+1

2x

在x≥1时恒成立，
由于(-

lnx+1

2x

)′=

lnx

2x

=0时，x=1，得当x=1时，-

lnx+1

2x

取最小值-

1

2

，
∴p≤-

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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