已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，若f′（x）＞0的x的取值范围为（1，3）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（x）的极大值；（Ⅱ）设g（x）=6（2-m）x，当x∈[2，3]时，函数y=f′（x）的图象恒-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，若f′（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，若f′（x）＞0的x的取值范围为（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（x）的极大值；
（Ⅱ）设g（x）=6（2-m）x，当x∈[2，3]时，函数y=f′（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，求m的取值范围．

试题来源：邯郸模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=3ax²+2bx+c，依题意有a＞0，且1，3分别为f（x）的极小值，极大值点，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4

3a+2b+c=0

27a+6b+c=0

，解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x³+6x²-9x，
∴f（x）的极大值为f（3）=0；
（Ⅱ）∵当x∈[2，3]时，函数y=f′（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，
∴-3x²+12x-9＜6（2-m）x，
∴6（2-m）＞-3（x+

3

x

）+12，
设y=x+

3

x

，则y′=1-

3

x2

，∴y=x+

3

x

在[2，3]上是增函数，∴x+

3

x

≥

7

2

∴-3（x+

3

x

）+12≤

3

2

∴6（2-m）＞

3

2

∴m＜

7

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，若f′（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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