已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+12x2+（b-3）x．（1）当a＞0且a≠1，f‘（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；（2）若f‘（x）有零点，f‘（3）≤16，且对函数定义域内一切满-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+12x2+（b-3）x．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

1

2

x2+（b-3）x．
（1）当a＞0且a≠1，f'（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；
（2）若f'（x）有零点，f'（3）≤

1

6

，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f'（x）≥0．
①求f（x）的表达式；
②当x∈（-3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f'（x）的图象的交点坐标．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3）…（2分）
由f'（1）=0?b=-a-1，故f′(x)=

(x-1)(x-a)

x+3

0＜a＜1时
由f'（x）＞0得f（x）的单调增区间是（-3，a），（1，+∞）
由f'（x）＜0得f（x）单调减区间是（a，1）
同理a＞1时，f（x）的单调增区间（-3，1），（a，+∞），单调减区间为（1，a）…（5分）
（2）①由（1）及f′(3)≤

1

6

?a≤-3b-8（i）
又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，
则

g(2)≥0

g(-2)≥0

-2≤-

b

2

≤2

?

a≥-4-2b

a≥2b-4

-4≤b≤4

，
由b²-4a≥0结合（i），解得b=-4，a=4…（8分）
∴f(x)=25ln(x+3)+

1

2

x2-7x…（9分）
②又设φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）与x轴在（-3，2）的交点
∵φ′(x)=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得 0＜（x+3）²＜25
故φ'（x）＞0，φ（x）在（-3，2）单调递增
又φ（-2）=16-16=0，故φ（x）与x轴有唯一交点（-2，0）
即f（x）与f'（x）的图象在区间（-3，2）上的唯一交点坐标为（-2，16）为所求 …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+12x2+（b-3）x．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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