已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．对于函数h（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=a^x（ax+1+a），（1分）
当a＞0时，f'（x）＞0?ax＞-a-1，即x＞-1-

1

a

，
函数f（x）在区间(-1-

1

a

，+∞)上是增函数，
在区间(-∞，-1-

1

a

)上是减函数；（3分）
当a=0时．f'（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；（4分）
当a＜0时，f'（x）＞0?ax＞-a-1即x＜-1-

1

a

，
函数f（x）在区间(-∞，-1-

1

a

)上是增函数，在区间(-1-

1

a

，+∞)上是减函数．（6分）
（2）若存在，则e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即-x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
现在只要判断e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立，（10分）
设?（x）=e^x（x+1）-（2x+1），因为：?'（x）=e^x（x+2）-2，
当x＞0时，e^x＞1，x+2＞2，?'（x）＞0，
当x＜0时，e^x（x+2）＜2e^x＜2，?'（x）＜0，
所以?（x）≥?（0）=0，即e^x（x+2）≥2x+1恒成立，
所以函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1存在“分界线”．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．对于函数h（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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