已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=-13是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-

1

3

是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0（5分）
（2）依题意x=-

1

3

是f（x）的一个极值点，∴f′(-

1

3

)=0
即

1

3

+

2

3

a-3=0
∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x（6分）
令f′（x）=3x²-8x-3=0，得x1=-

1

3

，x2=3则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6		-18		-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6（10分）
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根（12分）
∴x³-4x²-3x-bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，
∴

△=16+4(3+b)＞0

-3-b≠0

∴b＞-7，且b≠-3（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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