已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+2x+alnx
∴f′(x)=

2x2+2x+a

x

（x＞0），
设g（x）=2x²+2x+a，则g（x）=(x+

1

2

)2-

1

2

+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′(x)=2-

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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