已知函数f（x）=ax3+bx2在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g‘（x）的最小值为0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ）求证：g（x）≥-7．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，
∴f'（x）=3ax²+2bx．
由题意有

f′(-1)=3a-2b=0

f′(1)=3a+2b=12

，
解得

a=2

b=3

．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x³+3x²．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x³+3x²+mx，x∈[1，+∞），
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+

1

2

)2-

3

2

+m在[1，+∞）单调递增
∴[g'（x）]_min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x³+3x²-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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