已知函数f（x）=lnxx（1）求曲线在p（1，0）处的切线方程（2）求函数的单调区间（3）证明f（x）≤x-1x在定义域内恒成立．（）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnxx（1）求曲线在p（1，0）处的切线方程（2）求函数的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

lnx

x

（1）求曲线在 p（1，0）处的切线方程
（2）求函数的单调区间
（3）证明f（x）≤

x-1

x

在定义域内恒成立．（　　）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

1-lnx

x2

，k=f′(1)=1，
所以切线方程为y-0=（x-1），即x-y-1=0…（4分）
（2）易知x＞0，由f'（x）＞0得0＜x＜e，所以f（x）递增区间：（0，e）…（6分）
f'（x）＜0得x＞e，递减区间：（e，+∞） …（8分）
（3）要证f（x）≤

x-1

x

在定义域内恒成立
只需证xf（x）-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，
只需证lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=lnx-x+1（x＞0），由g'（x）=

1

x

-1=0得x=1．
则在x=1处有极大值（也是最大值）g（1）=0 …（13分）
∴lnx-x+1≤0
∴f（x）≤

x-1

x

在（0，+∞）上恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnxx（1）求曲线在p（1，0）处的切线方程（2）求函数的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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