已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q（x0，y0），且x1＜x0＜x2，使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对于曲线上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称l为弦P₁P₂的伴随切线．当a=2时，已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的伴随切线l的方程；
（Ⅲ）设g(x)=

a+2e

x

(a＞0)，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，∴函数f（x）没有极值．
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

x

(0，

2

a

)

2

a

(

2

a

，+∞)

f'（x）

-

0

+

f（x）

单调递减

极小值

单调递增

∴当x=

2

a

时，f（x）取得极小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
综上，当a≤0时，f（x）没有极值；
当a＞0时，f（x）的极小值为2-2ln

2

a

，没有极小值．
（Ⅱ）当a=2时，设切点Q（x₀，y₀），则切线l的斜率为f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率为kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

．
由已知得，l∥AB，则2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）为增函数，F（x）_max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．
所以a的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对于曲线上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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