已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y-数学试题及答案

1、试题题目：已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）在（0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．
（3）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，∴x∈（0，+∞），f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
若a≤0，，则f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增；
若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1
=

ex

x

+(lnx-1)ex+1
=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
由（1）易知，当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx-1在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，
即x₀∈（0，+∞）时，

1

x0

+lnx0-1≥0．
又ex0＞0，∴g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（0）=0有实数解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解．故不存在．
（3）证明：由（2）知

1

x

+lnx-1≥0，
令x=

n

m

，得

m

n

+ln

n

m

-1≥0，
∴ln

n

m

≥1-

m

n

，
∴nln

n

m

≥n-m，
∴(

n

m

)n≥en-m，
∴nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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