已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函数f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为32．（1）求a值及函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=13x3+x2[f′(x)+m2]在区间（1，3）上不是单调函数（其中f′-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函数f（x）的图象在x=4处的切线的斜..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函数f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为

3

2

．
（1）求a值及函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（1，3）上不是单调函数（其中f′（x）是f（x）的导函数），求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
f'（x）=

a(1-x)

x

…（2分）
由 f'（4）=-

3a

4

=

3

2

得a=-2 …（4分）
所以f'（x）=

2x-2

x

（x＞0）
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1
所以f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1]…（6分）
当a=-2时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a=-2时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
（2）g（x）=

1

3

x3+(

m

2

+2)x2-2x                    …（7分）
g'（x）=x²+（m+4）x-2                  …（8分）
因为g（x）在（1，3）不单调，且g'（0）=-2   …（9分）
所以

g′(1)＜0

g′(3)＞0

…（11分）
即

m＜-3

m＞-

19

3

…（12分）
所以m∈（-

19

3

，-3）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函数f（x）的图象在x=4处的切线的斜..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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