已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然对数的底-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

试题来源：徐州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）
（2）由于f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
①当a＞1，x∈（0，+∞）时，
∴lna＞0，a^x-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，x∈（0，+∞）时，
∴lna＜0，a^x-1＜0，所以f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）
（3）因为存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
所以当x∈[-1，1]时，|（f（x））_max-（f（x））_min|
=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，（12分）
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[-1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna）=a-

1

a

-2lna，
记g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0），
因为g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=（

1

t

-1）²≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t-

1

t

-2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）（14分）
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1?a-lna≥e-1?a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1?

1

a

+lna≥e-1?0＜a≤

1

e

，
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，

1

e

]∪[e，+∞）．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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