（B题）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R）．（1）若f（x）=（1-2x）3，求3a+2b+c-d的值；（2）若a=13，b＜0，y=f（x）在x=0处取得极值-1，且过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求-数学试题及答案

1、试题题目：（B题）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R）．（1）若f（x）=（1-2x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

（B题）设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R）．
（1）若f（x）=（1-2x）³，求3a+2b+c-d的值；
（2）若a=

1

3

，b＜0，y=f（x）在x=0处取得极值-1，且过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=（1-2x）³=ax³+bx²+cx+d，
对此等式两边同时求导数得：3（1-2x）²（-2）=3ax²+2bx+c，
令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二项式定理知d=1
故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分）
（2）∵f′（x）=x²+2bx+c，由题意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1
经检验，f（x）在x=0处取得极大值．∴f(x)=

1

3

x3+bx-1…（8分）
设切点为（x₀，y₀），则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)
即为y=(

x

20

+2bx0)x-

2

3

x

30

-b

x

20

-1…（9分）
因为切线方程为y=(

x

20

+2bx0)x-

2

3

x

30

-b

x

20

-1，
把（0，0）代入可得

2

3

x

30

+b

x

20

+1=0，
因为有三条切线，故方程

2

3

x

30

+b

x

20

+1=0有三个不同的实根．…（11分）
设g(x)=

2

3

x3+bx2+1(b＜0)
∵g′（x）=2x²+2bx，令g′（x）=2x²+2bx=0，可得x=0和x=-b

x	（-∞，0）	0	（0，-b）	-b	（-b，+∞）
g′（x）	+	0	一	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

因为方程有三个根，故极小值小于零，

1

3

b3+1＜0，所以b＜-

3	3

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（B题）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R）．（1）若f（x）=（1-2x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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