已知a＞0，b∈R，函数f(x)=12x2+alnx-(a+1)x+b．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，b∈R，函数f(x)=12x2+alnx-(a+1)x+b．（I..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b，
∴f′(x)=x+

a

x

-(a+1)
=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x=a，或x=a．
①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞）；
②当a=1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（II）设切点为P（x₀，y₀），切线斜率为k，
则方程组

y0=k(x0-3)

y0=

1

2

x02+2lnx0-3x0+b

k=f′(x0)=

(x0-1)(x0-2)

x0

，
即关于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三个不等实根，
整理，得b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

-(

1

2

x02+2lnx0-3x0)
=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，
令h（x）=

1

2

x2-3x-

6

x

-2lnx+11，x∈(0，+∞)，
则h′（x）=x-3+

6

x2

-

2

x

，
h′（x）=0，解得x=

2

，或x=3．
当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下表：

x

（0，

2

）

2

（

2

，3）

3

（3，+∞）

h′（x）

+

0

-

0

+

h（x）

↑

极大值

↓

极小值

↑

当x=1时，h（x）取得极大值h（

2

）=12-6

2

-ln2．
当x=3时，h（x）取得极小值h（3）=

9

2

-2ln3；
又当x趋近于0时，h（x）充分小，当x趋近于+∞时，h（x）充分大，
故当b∈（

9

2

-2ln3，12-6

2

-ln2）时，可作三条切线．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，b∈R，函数f(x)=12x2+alnx-(a+1)x+b．（I..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：