已知函数f（x）=x2+ax-（a+2）lnx-2（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥0．（2）若a＜-2，探求f（x）的单调区间．（3）求证：1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn＞116-（1n+1n+1+1n+2）（n≥4，n∈N*）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+ax-（a+2）lnx-2（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+ax-（a+2）lnx-2
（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥0．
（2）若a＜-2，探求f（x）的单调区间．
（3）求证：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）（n≥4，n∈N^*）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵a=1，x≥1时，f′(x)=

(2x+3)(x-1)

x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（1）=0；
（2）f′(x)=

(2x+a+2)(x-1)

x

(x＞0)
∴a∈（-4，-2）时，函数的单调增区间为(0，-

a+2

2

)，(1，+∞)，单调减区间为(-

a+2

2

，1)；
a=-4，函数的单调增区间为（0+∞）；
a＜-4时，函数的单调增区间为（0，1），(-

a+2

2

，+∞)，单调减区间为(1，-

a+2

2

)；
（3）证明：由（1）得：当x＞1时，x²+x-2＜3lnx，
∴

(x-1)(x+2)

3

＞lnx
∴

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x+2

∴

1

ln2

＞

1

2-1

-

1

2+2

，

1

ln3

＞

1

3-1

-

1

3+2

，

1

ln4

＞

1

4-1

-

1

4+2

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+2

∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞（1+

1

2

+

1

3

）-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）=（

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+ax-（a+2）lnx-2（1）当a=1时，求证：当x≥1时，f（x）≥..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：