已知函数f（x）=a（x2-1）-xlnx．（I）当a=12时，求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a（x2-1）-xlnx．（I）当a=12时，求函数f(x)的单调区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a（x²-1）-xlnx．
（I）当a=

1

2

时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，所以f′（x）=x-lnx-1．
函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
设g（x）=x-lnx-1，则g′（x）=1-

1

x

．
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数．
函数g（x）的最小值为g（1）=0．
所以g（x）=f′（x）≥0（仅当x=1时取等号），f（x）在（0，+∞）是增函数．
（Ⅱ）由函数f（x）=a（x²-1）-xlnx，则f′（x）=2ax-lnx-1．
（1）若a≥

1

2

，则由（Ⅰ）知，f′（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函数，
此时f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．
（2）若0＜a＜

1

2

，设h（x）=2ax-lnx-1，h′（x）=2a-

1

x

．
当x∈（1，

1

2a

）时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数．
则f′（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在（1，

1

2a

）是减函数．
这时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
（3）若a≤0时，则当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）是减函数，
此时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
综上所述，a的取值范围是[

1

2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a（x2-1）-xlnx．（I）当a=12时，求函数f(x)的单调区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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