已知函数f(x)=alnx+a+12x2+1．（Ⅰ）当a=-12时，求f（x）在区间[1e，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=alnx+a+12x2+1．（Ⅰ）当a=-12时，求f（x）在区间[1e，e]..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=alnx+

a+1

2

x2+1．
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

试题来源：自贡一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=-

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

x2

4

+1，
∴f′(x)=

-1

2x

+

x

2

=

x2-1

2x

．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）
∴f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值只可能在f(1)，f(

1

e

)，f(e)取到，
而f(1)=

5

4

，f(

1

e

)=

3

2

+

1

4e2

，f(e)=

1

2

+

e2

4

，
∴f(x)max=f(e)=

1

2

+

e2

4

，f(x)min=f(1)=

5

4

．---------------------------（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

(a+1)x2+a

x

，x∈(0，+∞)．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；-------------（7分）
②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；----------------（8分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得x2＞

-a

a+1

，∴x＞

-a

a+1

或x＜-

-a

a+1

（舍去）
∴f（x）在(

-a

a+1

，+∞)单调递增，在(0，

-a

a+1

)上单调递减；--------------------（10分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在(

-a

a+1

，+∞)单调递增，在(0，

-a

a+1

)上单调递减．
当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；-----------------------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=alnx+a+12x2+1．（Ⅰ）当a=-12时，求f（x）在区间[1e，e]..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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