设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函-数学试题及答案

1、试题题目：设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设a∈R，函数f（x）=ax³-2x²-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=3ax²-4x-4a．
（1）∵x=2是函数y=f（x）的极值点，∴f′（2）=12a-8-4a=0．
解得a=1．
经验证a=1符合函数取得极值的条件；
（2）∵f′（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-

2

3

或2，
又f（-1）=1，f(-

2

3

)=

40

27

，f（2）=-8，f（5）=55．
因此函数f（x）的最大值是55，最小值是-8．
（3）∵f′（x）=3ax²-4x-4a，要使函数f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0在R上恒成立，
则a必须满足△=16+16a×3a≤0，因此不存在a满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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