已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若x=-13是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[1，a]上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x=-

1

3

是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[1，a]上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由．

试题来源：万州区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（Ⅱ）依题意得f′(-

1

3

)=0，

1

3

+

2

3

a-3=0，a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
解得x1=-

1

3

，x2=3，
而f(1)=-6，f(3)=-18，f(-

1

3

)=-12，
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根，则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则

△=16+4(b+3)＞0

-3-b≠0

，
即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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