已知函数f（x）=lnx+x2-mx（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m取值范围；（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x1，y1））、B（x2，y2）、C（x3，y3），其-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+x2-mx（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；（2）若函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+x²-mx
（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m取值范围；
（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁））、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），其中在函数f（x）的图象上，试判定△ABC的形状，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
若m=3，则f（x）=lnx+x²-3x
∴f′（x）=

2x2-3x+1

x

令f′（x）＞0，
∵x＞0，
∴0＜x＜

1

2

或x＞1；
令f′（x）＜0，
∵x＞0，
∴

1

2

＜x＜1
即函数f（x）在（0，

1

2

）（1，+∞）上递减，在（

1

2

，1）上递增，
∴x=1时，函数有极小值为f（1）=-2；
（2）求导函数可得：f′（x）=

2x2-mx+1

x

∵函数f（x）在定义域内为增函数，
∴f′（x）=

2x2-mx+1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立
∴2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立
∴m≤2x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0时，2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

时取等号）
∴m≤2

2

∴实数m的取值范围为（-∞，2

2

]；
（3）证明：由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，
∴y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴x₁＜x₂＜x₃，y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

?

BC

＜0
∴cos＜

BA

，

BC

＞=

BA

?

BC

|

BA

|?|

BC

|

＜0
∴∠ABC为钝角
∴△ABC为钝角三角形

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+x2-mx（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；（2）若函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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