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1、试题题目：已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系
xOy．
（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

  试题来源：同步题   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：直线与椭圆方程的应用



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，
所以a=2．
所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．
所以椭圆的标准方程是．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．
由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，
所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．
设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
则，
若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，
所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，
经验证，此时△=48＞0．
所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。


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