在两个各项均为正数的数列an、bn（n∈N*）中，已知an、bn2、an+1成等差数列，并且bn2、an+1、bn+12成等比数列．（Ⅰ）证明：数列bn是等差数列；（Ⅱ）若a1=2，a2=6，设cn=(an-n2)?qbn（q-数学试题及答案

1、试题题目：在两个各项均为正数的数列an、bn（n∈N*）中，已知an、bn2、an+1成等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

在两个各项均为正数的数列a_n、b_n（n∈N^*）中，已知a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，并且b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列．
（Ⅰ）证明：数列b_n是等差数列；
（Ⅱ）若a₁=2，a₂=6，设cn=(an-n2)?qbn（q＞0为常数），求数列c_n的前n项和S_n

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意知

2bn2=an+an+1

an+12=bn2?bn+12

，
又∵数列a_n、b_n各项都是正数，∴a_n+1=b_nb_n+1，则a_n=b_n-1b_n
代入2b_n²=a_n+a_n+1，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1，所以数列b_n是等差数列．

（II）∵a₁=2，a₂=6，又2b_n²=a_n+a_n+1，得2b₁²=a₁+a₂=8，解得b₁=2
又∵a₂=b₁b₂=6∴b₂=3，由（I）知数列b_n是等差数列，则公差d=b₂-b₁=1
∴b_n=b₁+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又a_n=b_n-1b_n，得a_n=n（n+1）=n²+n，
∴cn=(an-n2)?qbn=nqn+1，
则当q=1时，c_n=n，此时Sn=

n(n+1)

2

；
当q≠1时，S_n=c₁+c₂++c_n=1×q²+2×q³++nqⁿ⁺¹，①
所以qS_n=qc₁+qc₂++qc_n=1×q³+2×q⁴++nqⁿ⁺²②
由①-②，得(1-q)Sn=q2+q3+qn+1-nqn+2=

q2(1-qn)

1-q

-nqn+2，
即Sn=

q2(1-qn)

(1-q)2

-

nqn+2

1-q

综上可知，Sn=

n(n+1)

2

，(q=1)

q2(1-qn)

(1-q)2

-

nqn+2

1-q

，(q≠1)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在两个各项均为正数的数列an、bn（n∈N*）中，已知an、bn2、an+1成等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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