已知抛物线C：y=ax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．（1）求F的坐标；（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y=ax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y=ax²（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与抛物线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）抛物线方程为x²=

1

a

y，故焦点F的坐标为（0，

1

4a

）．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=ax₀²∵y′=2ax，∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax₀
∴切线L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即2ax₀x-y-ax₀²=0
∴焦点F到切线L的距离d=

|0-

1

4a

-

ax

20

|

(2ax0)2+(-1)2

=

1

4|a|

_0	+

1≥

1

4|a|

当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y=ax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与抛物线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与抛物线的应用”。

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