已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S△ABP最大，并求面积最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S_△ABP最大，并求面积最大值．

试题来源：宝坻区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与抛物线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．
抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 |AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直线AB的方程为

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．…（8分）
再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2×

y0 2

4

+y0-4|

5

=

|

1

2

(y0+1)2-

9

2

|

5

…（9分）
所以当y₀=-1时，d取最大值

9

5

10

，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9

5

10

=

27

4

…（11分）
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．…（12分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与抛物线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与抛物线的应用”。

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