已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+22，3-22．（1）求椭圆的方程；（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2

2

，3-2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，证明：λ+μ为定值．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得

a+c=3+2

2

a-c=3-2

2

，解得

a=3

c=2

2

∴b²=a²-c²=1…（3分）
∴椭圆方程为

x2

9

+y2=1．…（5分）
（2）依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有

t2

9

+y02=1
又CA：y=

y0

t+3

(x+3)，DB：y=

-y0

t-3

(x-3)，
∴y2=

-

y

20

t2-9

(x2-9)，
将

t2

9

+y02=1代入即得y2=

1

9

(x2-9)，

x2

9

-y2=1
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线

x2

9

-y2=1上．…（10分）
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组

y=k(x-1)

x2

9

+y2=1 .

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x3+x4=

18k2

1+9k2

，①x3x4=

9k2-9

1+9k2

，②…（13分）
因为

RM

=λ

MQ

，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3)

y3-y5=-λy3 .

，所以x₃=λ（1-x₃），
又l与x轴不垂直，所以x₃≠1，
所以λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

． …（14分）
所以λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

．
将①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的定义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：