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1、试题题目：已知△ABC，AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，其中x∈(0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

已知△ABC，
AB
=(cos
3x
2
，-sin
3x
2
)，
AC
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，其中x∈(0，
π
2
)．
（Ⅰ）求|
BC
|和△ABC的边BC上的高h；
（Ⅱ）若函数f(x)=|
BC
|2+λ?h的最大值是5，求常数λ的值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：平面向量的应用



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）∵
AB
=(cos
3x
2
，-sin
3x
2
)，
AC
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，∴|
AB
|=|
AC
|=1
∴|
BC
|=
(
AC
-
AB
)2
=
AC
2-2
AC
?
AB
+
AB
2
=
2-2(cos
3x
2
cos
x
2
+(-sin
3x
2
)sin
x
2
)

=
2-2(cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
)
=
2-2cos2x
=
2-2(1-2sin2x)
=
4sin2x
=2|sinx|
∵x∈(0，
π
2
)，∴sinx∈（0，1），∴|
BC
|=2sinx．
∵|
AB
|=|
AC
|=1，△ABC是等腰三角形，
∴h=
|AB|2-(
1
2
|
BC
|)2
=cosx
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=|
BC
|2+λh=4sin2x+λcosx=4（1-cos2x）+λcosx=-4cos2x+λcosx+4
令t=cosx，∵x∈(0，
π
2
)，∴t∈（0，1）
则 f(x)=g(t)=-4t2+λt+4=-4(t-
λ
8
)2+
λ2
16
+4
结合函数g（t）的图象可知
当
λ
8
≤0或
λ
8
≥1，即λ≤0或λ≥8时，函数g（t）无最值．
当0＜
λ
8
＜1，即0＜λ＜8时，f（x）max=g(t)max=g(
λ
8
)=-4×(
λ
8
)2+λ×
λ
8
+4=5
解得λ=4或λ=-4（舍）
故λ=4时，函数f（x）的最大值为5．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知△ABC，AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，其中x∈(0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。


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