已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示OH．-数学试题及答案

1、试题题目：已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

已知O为△ABC所在平面外一点，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用

a

，

b

，

c

表示

OH

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由

OA⊥OB

OA⊥OC

?OA⊥平面OBC?OA⊥BC，连AH并延长并BC于M．
则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH?OH⊥BC、
同理可证：

OH⊥AC

AC∩BC=C

?OH⊥平面ABC、
又

OA

，

OB

，

OC

是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁，k₂，k₃使得

OH

=k1

a

+k2

b

+k3

c

、
由

OH

?

BC

=0且

a

?

b

=

a

?

c

=0?k_2
b2=k_3
c2，同理k_1
a2=k_2
b2．
∴k_1
a2=k_2
b2=k_3
c2=m≠0． ①
又AH⊥OH，
∴

AH

?

OH

=0?(k1-1)a+k2b+k3c?(k1a+k2b+k3c)=0?k₁（k₁-1）

a

2+k22

b

2+k32

c

2=0②
联立①及②，得

m(k1-1)+mk2+mk3=0，

m≠0

?k1+k2+k3=1③
又由①，得k1=

m

a

2

，k2=

m

b

2

，k3=

m

c

2

，代入③得：m=

a

2?

b

2?

c

2

a

2?

b

2+

b

2?

c

2+

c

2?

a

2

?k1=

b

2?

c

2

△

，k2=

c

2?

a

2

△

，k3=

a2?b2

△

，
其中△=

a

2?

b

2+

b

2?

c

2+

c

2?

a

2，于是

OH

=

1

△

（

b

2?

c

2?

a

+

c

2?

a

2?

b

+

a

2?

b

2?

c

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：